基礎理論とは
基礎理論とは、2進数や論理演算など、コンピュータがデータをどう表し、計算するかの土台となる考え方です。
符号付き整数の計算では、同じビット列でも解釈が変わります。まずビット幅と符号の表現方法を固定して考えます。
基本の仕組み
8ビットの2の補数で−5を作るとき、5の00000101を反転し11111010、さらに1を足して11111011にします。
nビットの2の補数は−2のn−1乗から2のn−1乗−1までを表します。8ビットでは−128から127です。論理演算は各ビットの真偽で扱い、数値の加算とは区別します。
最上位が1だからといって、すべての表現で負数になるわけではありません。符号なし整数なら11111011は251です。
NANDはANDの結果を反転します。入力が00・01・10・11の順なら、ANDの出力は0・0・0・1、NANDは1・1・1・0です。XORは二つの入力が異なるとき1になります。論理式は入力の全組合せを表にして、同じ結果になるかを確認できます。
数の表現と論理の全体像
符号なしnビットは0〜2^n−1、2の補数は−2^(n−1)〜2^(n−1)−1を表します。同じビット列でも、符号付きか符号なしかを先に決めてから計算します。
基数変換では各桁の重みを使います。2進数1011.1は8＋2＋1＋0.5＝11.5です。16進数へは2進数を4桁ずつ、8進数へは3桁ずつ区切って対応させます（11111011は16進数でFB）。10進数の0.1のように、2進数では有限の桁で表せない小数もあります。
2進数を左へ1ビットシフトすると2倍、右へ1ビットシフトすると1/2（端数は小さい方へ丸め）になります。論理シフトは空いたビットに0を入れ、算術シフトは符号ビットを保ち、右シフトでは空いた上位ビットに符号と同じ値を入れます。
NOTは入力を反転し、NORはORの結果を反転します。AND、OR、XOR、NAND、NORの出力は、次の表のように入力の全組合せで比較します。
| 表現 | 8ビットの範囲 |
|---|---|
| 符号なし | 0〜255 |
| 2の補数 | −128〜127 |
| 入力A・B | AND | OR | XOR | NAND | NOR |
|---|---|---|---|---|---|
| 0・0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0・1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1・0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1・1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
試験に出る
- 2進数と10進数の相互変換。各桁の重みを足して求める計算。
- 2進数と16進数は4桁ずつ対応させる変換と、1ビットの左シフトで2倍・右シフトで1/2になる関係。
- 8ビットの2の補数が表す範囲（−128〜127）と、5の反転＋1で−5を作る手順。
- NAND・XORの真理値。NANDはANDの反転、XORは入力が異なるとき1。
- 符号付きと符号なしで同じビット列の意味が変わる点（11111011は−5か251か）。
- 桁あふれを捨てて計算する例（5＋(−5)＝0）。
重要な言葉
- 2の補数
- 負の整数を表す表現方法。ビットを反転して1を足す。
- 論理演算
- 0と1の真偽を組み合わせて結果を求める演算。ANDやORなど。
- NAND
- ANDの結果を反転した論理演算。
- 桁あふれ
- 計算結果が表せるビット幅を超えること。
確認問題
確かめよう8ビットの2の補数で00000101と11111011を足すと？
桁あふれを捨てて00000000です。
8ビットの2の補数で5と−5を足すと、桁あふれを捨てて0になる。
XORは、二つの入力が同じときに1になる。
8ビットの2の補数で−5を表すビット列は？
NANDの出力が0になるのはどの入力のとき？
の計算では、同じビット列でも解釈が変わります。まずと符号の表現方法を固定して考えます。
8ビットので−5を作るとき、5の00000101を反転し11111010、さらに1を足してにします。
nビットの2の補数は−2のn−1乗から2のn−1乗−1までを表します。8ビットではから127です。は各ビットの真偽で扱い、数値の加算とは区別します。
が1だからといって、すべての表現で負数になるわけではありません。符号なし整数なら11111011はです。
はANDの結果を反転します。入力が00・01・10・11の順なら、ANDの出力は0・0・0・1、NANDは1・1・1・0です。は二つの入力が異なるとき1になります。論理式は入力の全組合せを表にして、同じ結果になるかを確認できます。
出典・参考資料
試験の公式案内と、この記事の参考にした学習資料です。
編集：Pinternet Works · 更新日：
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